Nombres décimaux
Comprendre et manipuler les nombres décimaux
Structure des nombres décimaux
Comment comprendre la structure des nombres décimaux
Étapes à suivre
- Identifier la partie entière (à gauche de la virgule)
- Identifier la partie décimale (à droite de la virgule)
- Reconnaître que le premier chiffre après la virgule représente les dixièmes
- Le deuxième chiffre représente les centièmes
- Le troisième chiffre représente les millièmes, etc.
Exemples
23,456 = 23 unités, 4 dixièmes, 5 centièmes, 6 millièmes
23 est la partie entière, 4 est en position des dixièmes, 5 est en position des centièmes, 6 est en position des millièmes
Astuces
- La virgule sépare la partie entière de la partie décimale
- Plus on s'éloigne de la virgule vers la droite, plus la valeur du chiffre est petite
- Chaque position décimale est 10 fois plus petite que la précédente
Lecture des nombres décimaux
Comment lire et énoncer correctement un nombre décimal
Étapes à suivre
- Lire d'abord la partie entière
- Dire "virgule"
- Lire les chiffres après la virgule un par un ou sous forme de nombre entier suivi de l'unité décimale
Exemples
5,23 = Cinq virgule vingt-trois ou cinq unités et vingt-trois centièmes
5 est la partie entière, 23 représente les centièmes
Astuces
- On peut dire "5 virgule 2 3" ou "5 unités et 23 centièmes"
- Ne jamais dire "5 virgule 23" comme "cinq virgule deux trois"
- Pour les mesures, on spécifie souvent l'unité : 5,23 mètres
Valeur des chiffres dans un nombre décimal
Comment déterminer la valeur de chaque chiffre dans un nombre décimal
Étapes à suivre
- Identifier la position de chaque chiffre par rapport à la virgule
- Attribuer la valeur correspondante : unités, dixièmes, centièmes, etc.
- Calculer la valeur réelle de chaque chiffre en fonction de sa position
Exemples
12,345 = 1 dizaine = 10, 2 unités = 2, 3 dixièmes = 0,3, 4 centièmes = 0,04, 5 millièmes = 0,005
Chaque chiffre a une valeur qui dépend de sa position
Astuces
- Un chiffre en position des dixièmes vaut 1/10 de sa valeur faciale
- Un chiffre en position des centièmes vaut 1/100 de sa valeur faciale
- La valeur d'un nombre peut s'écrire comme somme des valeurs de ses chiffres
Équivalence des nombres décimaux
Comment reconnaître des nombres décimaux équivalents
Étapes à suivre
- Comparer les parties entières des nombres
- Comparer les parties décimales en tenant compte de la position
- Reconnaître que l'ajout de zéros à la fin d'un nombre décimal ne change pas sa valeur
Exemples
0,5 et 0,50 = 0,5 = 0,50
Ajouter un zéro à la fin d'un nombre décimal ne change pas sa valeur
Astuces
- 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000 etc.
- En revanche, ajouter un zéro entre la virgule et les autres chiffres change la valeur : 0,5 ≠ 0,05
- Ajouter un zéro avant la virgule ne change pas la valeur : 0,5 = 00,5
Conversion de fractions en nombres décimaux
Comment convertir une fraction en nombre décimal
Étapes à suivre
- Diviser le numérateur par le dénominateur
- Le résultat est le nombre décimal équivalent
- La division peut donner un nombre décimal exact ou périodique
Exemples
3/4 = 0,75
En divisant 3 par 4 : 3 ÷ 4 = 0,75
Astuces
- Les fractions dont le dénominateur est 10, 100, 1000, etc. sont faciles à convertir
- Certaines fractions donnent des décimaux périodiques (ex: 1/3 = 0,333...)
- Pour les fractions complexes, utiliser la division posée
Conversion de nombres décimaux en fractions
Comment convertir un nombre décimal en fraction
Étapes à suivre
- Écrire le nombre décimal sous forme de numérateur divisé par 1
- Multiplier par 10, 100, 1000, etc. pour éliminer la virgule
- Simplifier la fraction si possible
Exemples
0,75 = 75/100 = 3/4
0,75 = 75/100, qui peut se simplifier en 3/4
Astuces
- Pour un nombre avec 1 décimale, le dénominateur est 10
- Pour un nombre avec 2 décimales, le dénominateur est 100
- Ne pas oublier de simplifier la fraction finale
Arrondir les nombres décimaux
Comment arrondir un nombre décimal à une position donnée
Étapes à suivre
- Identifier la position à laquelle il faut arrondir
- Observer le chiffre suivant cette position
- Si ce chiffre est inférieur à 5, on conserve le nombre tel quel
- Si ce chiffre est supérieur ou égal à 5, on augmente de 1 le chiffre de la position visée
Exemples
Arrondir 3,46 au dixième = 3,5
Le chiffre suivant le dixième est 6, qui est supérieur à 5, donc on arrondit à 3,5
Astuces
- La règle d'arrondi la plus courante est "inférieur à 5, on conserve ; supérieur ou égal à 5, on augmente"
- Après avoir arrondi, tous les chiffres à droite de la position d'arrondi sont supprimés
- L'arrondi permet de simplifier un nombre tout en gardant une approximation précise
Ordre de grandeur des nombres décimaux
Comment estimer l'ordre de grandeur d'un nombre décimal
Étapes à suivre
- Identifier la partie entière du nombre
- Observer la première décimale pour déterminer si on arrondit à l'entier supérieur ou inférieur
- Utiliser cette approximation comme ordre de grandeur
Exemples
Ordre de grandeur de 23,7 = Environ 24
La partie entière est 23, et comme la première décimale est 7 (supérieure à 5), on arrondit à 24
Astuces
- L'ordre de grandeur sert à avoir une idée approximative de la taille du nombre
- Utile pour estimer rapidement un résultat ou vérifier si un calcul est cohérent
- On peut aussi arrondir à la dizaine, centaine ou autre puissance de 10 proche
Encadrement de nombres décimaux
Comment encadrer un nombre décimal entre deux entiers ou deux décimaux
Étapes à suivre
- Pour un encadrement par des entiers, identifier l'entier immédiatement inférieur et supérieur
- Pour un encadrement par des dixièmes, identifier les dixièmes immédiatement inférieurs et supérieurs
- Écrire l'encadrement sous la forme "a < x < b"
Exemples
Encadrer 3,47 par des entiers = 3 < 3,47 < 4
3,47 est compris entre 3 et 4
Astuces
- Un nombre décimal est toujours encadré par deux entiers consécutifs
- Pour encadrer par des dixièmes, centièmes, etc., le principe est le même
- L'encadrement peut être de plus en plus précis selon les besoins
Positionnement sur une droite graduée
Comment placer des nombres décimaux sur une droite graduée
Étapes à suivre
- Identifier l'échelle de la droite graduée
- Repérer les graduations principales (souvent des entiers)
- Estimer la position du nombre décimal entre ces graduations
- Placer le nombre proportionnellement à sa valeur
Exemples
Placer 2,7 sur une droite graduée = Position aux 7 dixièmes entre 2 et 3
2,7 est placé à 7/10 de la distance entre 2 et 3
Astuces
- Visualiser les dixièmes comme des divisions régulières entre deux entiers
- Plus la partie décimale est grande, plus le point est proche de l'entier supérieur
- Utile pour comparer visuellement des nombres décimaux
Nombres décimaux et mesures
Comment utiliser les nombres décimaux dans les mesures
Étapes à suivre
- Associer chaque unité de mesure à sa sous-unité (m et cm, kg et g, etc.)
- Comprendre le rapport entre les unités (souvent des puissances de 10)
- Exprimer les mesures sous forme décimale avec l'unité principale
Exemples
3 m 45 cm = 3,45 m
45 cm = 0,45 m, donc 3 m 45 cm = 3,45 m
Astuces
- Le système métrique est basé sur les puissances de 10, ce qui facilite les conversions
- 1 m = 100 cm, donc 1 cm = 0,01 m
- Les nombres décimaux permettent d'exprimer des mesures précises avec une seule unité
Déplacement de la virgule - Multiplication
Comment comprendre l'effet du déplacement de la virgule lors d'une multiplication
Étapes à suivre
- Multiplier par 10 : déplacer la virgule d'un rang vers la droite
- Multiplier par 100 : déplacer la virgule de deux rangs vers la droite
- Multiplier par 1000 : déplacer la virgule de trois rangs vers la droite
- Ajouter des zéros si nécessaire
Exemples
3,45 × 10 = 34,5
Déplacer la virgule d'un rang vers la droite : 3,45 → 34,5
Astuces
- Le nombre de rangs à déplacer correspond au nombre de zéros de la puissance de 10
- Cette règle s'applique à toutes les puissances de 10 (10, 100, 1000, etc.)
- Cette propriété simplifie grandement certains calculs
Déplacement de la virgule - Division
Comment comprendre l'effet du déplacement de la virgule lors d'une division
Étapes à suivre
- Diviser par 10 : déplacer la virgule d'un rang vers la gauche
- Diviser par 100 : déplacer la virgule de deux rangs vers la gauche
- Diviser par 1000 : déplacer la virgule de trois rangs vers la gauche
- Ajouter des zéros si nécessaire
Exemples
34,5 ÷ 10 = 3,45
Déplacer la virgule d'un rang vers la gauche : 34,5 → 3,45
Astuces
- Le nombre de rangs à déplacer correspond au nombre de zéros de la puissance de 10
- Ajouter un zéro à gauche si nécessaire (ex : 0,3 ÷ 10 = 0,03)
- Cette propriété simplifie grandement certains calculs